Barisan dan Deret Aritmatika

Johann Carl Friedrich Gauß (www.wikipedia.com)

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan bentuk pola-pola bilangan yang bisa digunakan untuk menarik kesimpulan dari berbagai kejadian. Salah satu pola bilangan yang terkenal adalah barisan aritmatika. Berdasarkan laman wikipedia aritmatika ditemukan oleh matematikawan bernama Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) pada abad ke-18.

Operasi aritmatika dasar digunakan untuk kegiatan sehari-hari seperti berdagang, bertransaksi, dan lain-lain. Aritmatika kompleks atau rumit digunakan untuk merancang bangunan dan alat-alat lain. Nah, apa itu barisan dan deret aritmatika?

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika adalah barisan yang tersusun atas suku-suku yang memiliki selisih tetap.

Misalkan ada dua pola bilangan yaitu

(a) 1, 3, 9, 27, …

(b) 1, 3, 5, 7, …

Pada barisan (pola bilangan) di atas, barisan (a) bukan merupakan barisan aritmatika karena jarak (selisih) antar sukunya tidak tetap, suku pertama dengan suku kedua selisihnya 2 sedangkan suku kedua dengan suku ketiga selisihnya 6, sedangkan barisan (b) merupakan barisan aritmatika karena selisih tiap sukunya sama yaitu 2.

Suku pertama dinotasikan dengan “a” dan selisih antara dua suku yang berurutan dinotasikan dengan “b”. Adapun barisan aritmetika dapat dirumuskan sebagai berikut.

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + (n – 1)b)

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

$U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$

Contoh soal:

Tentukan suku ke-20 dari barisan berikut 8, 12, 16, 20, 24, …

Penyelesaian:

Pada barisan 8, 12, 16, 20, 24, … diketahui bahwa suku pertama (a) = 8,

dan beda antar dua suku yang berurutan (b) = 12 – 8 = 16 – 12 = 4

Maka, suku ke-20:

$U_{20}=8+\left ( 20-1 \right )4$

$U_{20}=8+\left ( 19 \right )4$

$U_{20}=8+76$

$U_{20}=84$

Jadi, suku ke-20 dari barisan berikut 8, 12, 16, 20, 24, … adalah 84.

2. Rumus suku ke-n dari barisan 5, -2, -9, -16, … adalah …

Penyelesaian:

Diketahui a = 5 dan b = -2 – 5 = -7

Maka,

$U_{n}=5+\left ( n-1 \right )\left ( -7 \right )$

$U_{n}=5-7n+7$

$U_{n}=12-7n$

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan 5, -2, -9, -16, … adalah $U_{n}=12-7n$

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika. Penjumlahan suku-suku dari suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus:

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$ atau $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+\left ( n-1 \right )b \right )$

Contoh Soal:

Tentukan jumlah sampai suku ke-20 dari deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + …

Penyelesaian:

Pada deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + … diperoleh a = 2, b = 3, dan dari pertanyaan diperoleh n = 20 sehingga:

$S_{20}=\frac{20}{2}\left ( 2\left ( 2 \right )+\left ( 20-1 \right )3 \right )$

$S_{20}=10\left ( 4+\left ( 19 \right )3 \right )$

$S_{20}=10\left ( 4+57\right )$

$S_{20}=610$

Jadi, jumlah sampai suku ke-20 dari deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + … adalah 610.

2. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24, dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Penyelesaian:

Diketahui $U_{3}=24$ dan $U_{6}=36$

Ditanya: $S_{15}=$ … ?

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $S_{15}$ , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan substitusi dari persamaan $U_{3}$ dan $U_{6}$